|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Regelmatige veelhoeken
Geachte heer,
Graag zou ik willen weten hoe ik bijv.cos x met cos 2x moet vermenigvuldigen of cos x met cos (1/2 - x ), ook hetzelfde met sin x maal sin (2x - 1/2 )...want bij het oefenen kom ik vaak hierop...
ik moet nl.
f(x) = 2sin2x -2√3·sinx·cosx-3 opschrijven in de uiteindelijke vorm f(x) = 2cos(2x+2/3·$\pi$) -2
Bij voorbaat dank ik u hartelijk voor uw hulp
Antwoord
Hallo Radjan,
Op vele plaatsen op internet vind je overzichten van goniometrische gelijkheden, bijvoorbeeld op Wikipedia: Lijst van goniometrische gelijkheden. In deze lijst vind je:
sin2(x) = 1/2(1-cos(2x)
sin(x)·cos(y) = 1/2(sin(x-y)+sin(x+y))
Toegepast op jouw functie levert dit:
f(x) = 1-cos(2x) -√3(sin(x-x)+sin(x+x)) -3
f(x) = -{cos(2x)+√3(sin(2x)} -2
Het deel tussen accolades heeft de vorm:
a·cos(2x) + b·sin(2x)
Dit kan geschreven worden als:
R·cos(2x-$\alpha$)
met: R = √(a2+b2) en tan($\alpha$)=b/a
(Voor afleiding van dit verband: zie bv dit document van Mathcentre).
In jouw geval geldt:
a=1 en b=√3
dus:
R=√(1+3)=2 en
tan($\alpha$)=√3, dus $\alpha$=1/3$\pi$
Zo vinden we:
f(x) = -2cos(2x-1/3$\pi$)-2
Tot slot: in de eenheidscirkel (of met behulp van de formules) zie je dat:
-cos(A) = cos(A+$\pi$)
dus kan je de functie ook noteren als:
f(x) = 2cos(2x+2/3$\pi$)-2
Je ziet: het is voortdurend combineren van de formules om van de ene vorm naar de andere vorm te komen.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
